「銳角轉換公式」經常用得到,如果不想個辦法記住,每次都從頭推導,學習之路很難繼續走下去。熟練不是萬能的,但不熟練是萬萬不能。成績不好通常是因為熟練度不夠,而非缺乏思考能力。熟練就和金錢一樣,是必要之惡。

事實上,就學校裡的各種大小考而言,熟練不但是好成績的必要條件,甚至已變成充分條件了,這就是為什麼一般的補習會有效,因為能逼出熟練度。但是,就像過度拜金會腐化人心,過度強調熟練反而會鈍化解題能力,如果不希望自己太短視近利,就要小心補習的後遺症。

回過頭來,如果仔細觀察「銳角轉換公式」,我們會發現,所有公式的基本目標都是把複雜的角度(例如:-θ, 90°+θ, 180°+θ, 270°-θ,…)改成銳角θ。當角度作這樣的調整時,可能有兩個地方要跟著調整:

1. 要不要加上負號?
2. 要不要變成餘函數?

(sin 的餘函數是指 cos, 而 cos 的餘函數是指 sin,他們彼此互為對方的餘函數──就好像30° 與 60° 彼此互為餘角。另外,tan 與 cot 互為餘函數,sec 與 csc 互為餘函數。)

例如,cos(90°+θ)=-sinθ這個公式,當我們企圖把 90°+θ 改成 θ 時,不但要加上負號,還要把 cos 改成 sin。

至於 cos(-θ)=cosθ 這個公式,當我們企圖把 -θ 改成 θ 時,不必加上負號,也不必把 cos 改成 sin。

因此,要想掌握「銳角轉換公式」,就要掌握「變號」以及「變餘函數」的時機。

首先要注意,證明公式和記住公式是兩件事,我們現在要作的是「記憶」而非「證明」。如果「銳角轉換公式」已經證明為真,那麼,隨便挑一個特例代入公式當然一定會成立。我們的策略就是挑一個最容易操作和想像的特例,來幫我們背公式。

講這麼多,其實我們只是想把一件事情合理化:把 θ 看成銳角。因此,sinθ, cosθ, tanθ, cotθ, secθ, cscθ 六個函數值都是正的。

我們先以cos(90°+θ) 為例,說明如何簡化這個式子:

1. 既然 θ 是銳角,90°+θ 的終邊落在第 2 象限,因此,cos(90°+θ) 為負值,所以等號右邊將會出現負號,意即,cos(90°+θ)=-?。

2. 承上,「?」要嘛保持原來的函數型態 cos,不然就變成他的餘函數 sin。這個部分就不必像剛才一樣作推理了,只要觀察所有的「銳角轉換公式」並稍作歸納,我們發現,變成餘函數的情況發生在角度中出現 90° 及 270° 的時候,而其他時候(角度為 0°, 180°, 360°)的函數類型保持不變。因此,cos(90°+θ)=-sinθ。

再以cos(-θ)為例。

首先,-θ 的終邊落在第 4 象限,其 cos 值為正,所以不必變號。其次,角度為 -θ,也就是0°-θ,所以不必改變函數型態。因此,cos(-θ)=cosθ。

如果你很討厭死背,很難說服自己接受「90° 及 270° 的時候變成餘函數,其他時候不要變」這個咒語,不妨先回憶底下的圖形,回憶一下這個圖形在說什麼,甚至動動手證明一下廣義角的餘角公式 cos(90°-θ)=-sinθ,一定能減輕不知所云的不安全感。

Posted by brucemath at 痞客邦 PIXNET 留言(0) 引用(0) 人氣()