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如果沒有被太多數學知識污染,我們應該很難想像,竟然會有一枝鉛筆的長度沒有辦法被精確地數位化,會不會只是因為我們的測量技術不夠精密呢?

1< √2<2
1.4<√2 <1.5
1.41< √2<1.42
1.414< √2<1.415
1.4142< √2<1.4143
1.41421< √2<1.41422
….

想像有個像夸父一樣的頑固份子,一開始他相信根號 2 可以被精確地數位化,或者說,可以寫成分數,很不幸地,日復一日年復一年,他還是無法將根號 2 定位。

當一個人愛上一個永遠不可能愛他的人,有修養的人可能選擇祝福對方,然後靜靜地走開,但報復心理比較強烈的人可能會說:「我得不到的,別人也休想得到」。

這樣的人,當他滿懷希望要用有限個數字將根號 2 定位而終不可得的時候,他竟然選擇了一條完全相反的路,企圖證明根號 2 不可能被精確地數位化,而他用的方法也是充滿轉折的:

假設根號 2 可以寫成分數,就寫成 p/q 好了,我們總是可以把 p 和 q 的共同成分約掉,得到一個最簡分數,也就是說,p,q 互質,p,q 之間沒有相同的成分。

現在將 √2=p/q 的兩邊平方,得到

2=p2/q2
2q2=p2
 
因此,p2 含有 2 的成分,於是 p 必須要有 2 的成分,於是 p2 會有 2*2=4 的成分,這樣一來,q2 也必然會有 2 的成分,於是 q 也必須有 2 的成分。

推論到此,我們發現 p,q 都有 2 的成分,怎麼會一開始說 p,q 沒有相同的成分,走到後來又說 p,q 有相同的成分呢?

化解矛盾的唯一方法是,一開始的假設就出問題了,也就是說,根號 2 不可能寫成分數的型式。

上述證法是所有教科書的標準作法,不曉得已經風行了幾個世紀。幾乎每個初學者都曾經被這個兜圈子的證明搞得暈頭轉向。

最近和張海潮教授通電話,他教了我一種新的證明方法,頗能治療初學者的頭暈問題。

這個新方法的開頭和舊方法是一樣的,假設根號 2 可以寫成分數,也就是 ,其中 p,q 沒有相同的成分。第二步也相同,將式子兩邊平方,2=p2/q2

精彩的是接下來的直觀:

如果 p/q 不是整數,p2/q2 更不可能是整數。

這是因為,如果 p,q 沒有相同的成分,p2 和 q2 自然也不會有相同的成分;如果 p/q 都無法化簡成整數,p2/q2 更沒有機會了。

因此, 這個式子是個明顯可笑的矛盾:等號左邊是整數,右邊不是整數。兩者怎麼可能相等?

我們將上述證明的關鍵再寫一次:

如果 p/q 不是整數,p2/q2 更不可能是整數。

從這個直觀,我們可以得到一群和根號 2 類似的無理數:

一個自然數 n,除非他是完全平方數(意即,n 可以寫成 m2,m 也是自然數),否則根號 n 是無理數。

Posted by brucemath at 痞客邦 PIXNET 留言(2) 引用(0) 人氣()


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  • 隨便你叫
  • 這個證明是在這個前提下才能成立的:<br />
    <br />
    任意自然數具有唯一的質因數分解<br />
    <br />
    要怎麼證明它呢?
  • brucemath
  • 確實,在證明根號 2 為無理數的過程中,我們運用了”把數拆解為更小的數”這樣的概念,更明<br />
    確地說,要表達約分(分子與分母沒有共同成分)的概念,必須先有質因數分解的概念<br />
    <br />
    不過,在根號 2 是無理數的證明中,並不需要用到分解的惟一性<br />
    <br />
    anyway, 如果你想知道怎麼證明”質因數惟一分解定理”,可以查看以下的網頁<br />
    <br />
    http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_arithmetic

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